[최대와 최소] 판별식을 이용하는 최대와 최소 (2025)

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이번 포스팅은 이차함수의 최대 최소에서 판별식을 이용하는 것에 대한 내용입니다.

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이차함수 "y = ax² + bx + c" 에서 최대값과 최소값을 구하려면

우선 최고차항의 계수인 a가 양수인지 음수인지 확인을 합니다.

양수인 경우 이차함수는 최소값을 가지고 음수인 경우 이차함수는 최대값을 가집니다.

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이차함수를 완전제곱꼴로 변형하여 꼭지점의 좌표값을 구합니다. 꼭지점의 y좌표값이 해당 이차함수의 최대값 또는 최소값이 됩니다.

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그런데 이차함수의 최대, 최소값을 구하는데 판별식을 이용한다는 것이 이번 단원의 내용입니다.

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일단, 판별식을 이용하여 최대, 최소값을 구하는데 있어서 알아야 할 것이 있습니다. 그것은, 판별식의 부호를 통해 실근의 여부와 숫자를 확인하는 것은 이차함수의 계수가 실수일때만 가능하다는 것이며, 우리가 관심을 가지고 있는 x, y는 실수좌표계안에 있는 숫자, 즉, 실수라는 것입니다.

이런 제약조건을 염두에 두고 계속 알아보겠습니다.

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예를 쉽게 들기 위해 "y = x² + 1"이라는 이차함수를 가지고 예를 들도록 하겠습니다.

이 함수는 y = x²이라는 함수가 y축 방향으로 +1만큼 이동한 함수입니다.

대략 이런 형태의 그래프를 실수좌표계에서 보여줄 것 같네요.

그런데 이 이차함수를 이차방정식으로 변형하여 판별식에 대입해 보는 것입니다.

이차함수를 이차방정식으로 변형하는 것은 y에 0을 대입하는 것입니다. 이 내용을 앞선 포스팅에서 살펴본 적이 있지요. 이것의 의미는 y=0이라는 직선(x축)과 해당 이차함수가 어느부분에서 교점을 가지는지 확인하는 것이며, 판별식이라는 것은 교점을 두점에서 가지는 경우(0보다 큰 경우), 교점을 한점에서 가지는 경우(0인 경우 - 이 점이 꼭지점이며, 이점에서 최대 또는 최소값을 가집니다), 실수좌표계에서 교점이 없는 경우(0보다 작은 경우)로 구분할 수 있게 해 줍니다.

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위 이차함수 y = x² + 1 을 이차방정식으로 변형하면 x² + 1 = 0이 되며, 이 이차방정식을 판별식에 넣으면

0² - 4 x 1 x 1 = -4 즉, 0보다 작으므로 실근을 가지지 않고 "x축과 교점이 없다" 라고 판단할 수 있습니다.

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위 그림 1을 확인해도 x축과 교점이 없는 것을 확인할 수 있습니다.

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이차함수를 그대로 이차방정식으로 변형하는 것은 x축과의 관계를 알아보는 것이지만 굳이 x축에 한정하지 않고 y가 어떤 값을 가질 때 실수좌표계 안에서 이차함수 그래프의 좌표값을 갖겠는지 확인을 한다면 어떻게 될까요?

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자, y가 0이 아닌 어떤 값을 갖는다고 할 경우 우리는 이차함수 y = x² + 1을 이차방정식으로 변형할 때 y에 0을 대입하지 않고 그대로 이항하여 방정식을 만들어 보겠습니다.

x² + 1 - y = 0

이제 이차항계수 a = 1, 일차항 계수 b = 0, 상수항 c = (1 - y)라는 이차방정식이 나왔습니다. 이를 판별식에 넣어보겠습니다.

0² - 4 x 1 x (1 - y) = -4 + 4y

판별식의 값이 0이 되는 값은

-4 + 4y = 0

4y = 4

y = 1

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즉, y가 1보다 크면 2개의 실근, 즉, 해당 y값에서 2개의 좌표값이 생기는 것입니다. y값이 1이면 1개의 실근(중근) 즉, 해당 y값에서 1개의 좌표값이 생기는 것입니다. 그리고 y값이 1보다 작을 경우 허근, 즉, 실수 좌표계에서 교점이 없고 좌표값이 없다는 것입니다.

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y가 1보다 큰 경우의 예로 y = 2, y가 1인 경우, y가 1보다 작은 경우의 예로 y = -1인 경우를 살펴보겠습니다.

즉, 이차함수에서 y값이 0이라고 한정하지 않고 이항하여 이차방정식을 만든 뒤 이 방정식이 실근을 가질 조건을 구하면 실수좌표계에서의 y값의 범위가 나온다는 것입니다.

그 값에서 y값이 최소값을 가질지 최대값을 가질지도 나오겠지요.

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예를 들어보겠습니다.

y = (x + 3)² -2 라는 이차함수가 있다고 해 보겠습니다. 이 이차함수의 그래프의 꼭지점 좌표는 (-3, -2)이며, 이차항계수의 부호가 양수이므로 최소값을 가집니다. 즉, -2라는 최소값을 가지는 이차함수입니다. 이 이차함수를 판별식을 이용해서 최소값을 구해보겠습니다.

y = (x + 3)² - 2

= x² + 6x + 9 - 2 = x² + 6x +7

y를 이항하여 이차방정식으로 변형하면

x² + 6x + 7 - y = 0 이라는 이차방정식을 구할 수 있습니다. 이 이차방정식을 판별식에 대입하면

6² - 4 x 1 x (7 - y) = 36 - 28 + 4y = 4y + 8 ≥ 0 의 범위를 찾으면 되므로

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4y + 8 ≥ 0

4y ≥ -8

y ≥ -2

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위 이차함수가 실수인 범위는 y가 -2보다 크거나 같다는 것이며, 이는 꼭지점과 이차항 계수의 부호로 확인한 범위와 최소값이 일치하는 것을 알 수 있습니다.

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이제 최대값을 갖는 경우를 확인해 볼까요?

y = - (x + 3)² - 2 라는 이차함수는 꼭지점의 좌표가 (-3, -2)이며, 이차항계수의 부호가 음수이므로 최대값을 갖습니다. 즉, y의 최대값이 -2가 됩니다. 똑같이 한번 판별식을 이용해 보겠습니다.

y = -(x² + 6x +9) - 2 = -x² -6x - 9 - 2 = -x² - 6x - 11

y = -x² - 6x - 11 에서 y를 이항하여 이차방정식을 만들겠습니다.

-x² - 6x - 11 - y = 0 양변에 -1을 곱하면

x² + 6x + 11 + y = 0 판별식에 대입하면

6² - 4 x 1 x (11 + y) = 36 - 44 - 4y = -8 - 4y 가 됩니다.

즉, -4y - 8 ≥ 0 인 조건에서 실근을 가지므로 풀어보면

-4y ≥ 8

y ≤ -2

y의 값은 -2보다 작거나 같다 즉, 최대값이 -2가 되는 것입니다.

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이차함수의 그래프가 실수좌표계 위에 있다고 하면 y를 이항하여 만든 이차방정식이 실근을 가질 조건은 실수좌표계위 이차함수 그래프의 y 좌표 범위를 구할 수 있는 것입니다.

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이번 포스팅은 여기까지 하도록 하겠습니다.